Granice możliwości komputerów

A jednak istnieje silny matematyczny dowód, który pozwala sądzić, że maszyny te nigdy nie osiągną poziomu ludzkich zdolności intelektualnych. Dowód ten odwołuje się do twierdzenia Goedla - twierdzenia, które wstrząsnęło podstawami matematyki, a którego konsekwencji niepodobna przecenić.
Tutaj konieczne jest kilka słów komentarza, aby naświetlić klimat, w jakim doszło do sformułowania tego twierdzenia.
Od czasów starożytnych matematykę rozwijano w sposób aksjomatyczno-dedukcyjny. Sposób ten polega na przyjęciu pewnej liczby twierdzeń pierwotnych, tzw. aksjomatów. Aksjomaty przyjmuje się bez dowodu, opierając się na ich "oczywistości". Następnie z aksjomatów wywodzi się kolejne twierdzenia metodami ścisłego rozumowania. System taki ma wiele zalet - klarowną i logiczną strukturę, łatwość prowadzenia dowodów itp. Wada jest jedna, ale zasadnicza: cały system jest prawdziwy, jeśli prawdziwe są aksjomaty leżące u jego podstaw.
Aksjomaty można jednak zakwestionować. Na przykład aksjomat Euklidesa mówiący, że przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić tylko jedną prostą, która jest do niej równoległa - można zmienić, postulując, że przez taki punkt można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych. System zbudowany na takim zmienionym aksjomacie, nazwany geometrią Riemanna, jest tak samo spójny, jak znany od starożytności system geometrii Euklidesa, co więcej z teorii względności Einsteina wynika, że właśnie geometria Riemanna lepiej opisuje wszechświat, niż "naiwna" geometria Euklidesa.
W sytuacji, kiedy tak łatwo było zbudować geometrię całkiem odmienną od tej, którą uznawano za oczywistą i jedyną możliwą przez całe tysiąclecia - postawiono problem niesprzeczności całej matematyki. Czy nie może się zdarzyć, że stosując obecnie przyjmowane aksjomaty oraz rygorystyczne metody ścisłego rozumowania - zdołamy udowodnić jakieś twierdzenie - a także jego zaprzeczenie? Gdyby coś takiego się zdarzyło, to cała matematyka ległaby w gruzach. Fakt, że nie odkryto jeszcze dowodu twierdzenia i jego zaprzeczenia nie stanowi gwarancji, gdyż w każdej chwili dowód taki może się pojawić.
Problem poszukiwania ścisłego dowodu niesprzeczności matematyki sformułował Hilbert, a zrealizował go Russell w swym monumentalnym dziele "Principia mathematica" (liczącym łącznie ponad 2000 stronic i drukowanym sukcesywnie w latach 1910-1913). Wydawało się, że niesprzeczność matematyki udało się ściśle udowodnić, chociaż dowód był tak niesłychanie skomplikowany i trudny, że sam Russell mówił, iż "na świecie było tylko sześciu ludzi, którzy byli w stanie przeczytać »Principia mathematica«, z czego trzech było Polakami". Wszyscy byli tak przytłoczeni ogromnym dziełem (i ogromnym autorytetem Russella), że prawie nikt nie zauważył opublikowanej w 1931 roku niewielkiej (20 stronic) pracy mało znanego wiedeńskiego matematyka Kurta Goedla. Artykuł ten nazywał się "Ueber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme". Młodziutki (25 lat) Goedel udowodnił w nim, że rozważania Russella mijają się z celem, ponieważ niemożliwe jest udowodnienie niesprzeczności matematyki z użyciem logiki, jest to bowiem problem nierozstrzygalny.
Twierdzenie Goedla nie odpowiada na pytanie, czy matematyka jest niesprzeczna, czy nie jest. Ono pokazuje, że istnieją problemy, których z zasady nie da się rozstrzygnąć metodami formalnymi. Istnieją zatem prawdy, których nigdy nie osiągnie twór zbudowany na bazie logiki, jak komputer. Są one jednak dostępne dla człowieka, bo nasz umysł nie jest formalistyczny. Dlatego w konfrontacji z komputerami, teraz i w przyszłości, człowiek ma matematycznie zagwarantowaną przewagę, właśnie dlatego, że jest wolny od chłodnej logiki automatów.
Na tym mógłbym skończyć, ale dla wiernych Czytelników, którzy dobrnęli do końca tego felietonu, zachowałem na deser jeszcze jedną ciekawostkę. Otóż prawie cały ten tekst (powyżej) napisałem jako stażysta zaraz po ukończeniu studiów. Został on wydrukowany w mojej pierwszej książce, zatytułowanej "Elementy cybernetyki ekonomicznej" (stronice 264-268, gdyby ktoś chciał sprawdzić), która została wydana nakładem Akademii Ekonomicznej w Krakowie w 1974 roku. Tylko że wtedy nikt nie zwrócił uwagi na tę książkę...