Niesprzeczność matematyki

Prof. Ryszard Tadeusiewicz: W LABORATORIUM I PRAKTYCE

Jest jednak coś, na czym mi szczególnie zależy: żeby moje teksty były zrozumiałe. Dla każdego. Bez uważnego czytania i śledzenia powiązań. Po prostu zrozumiałe od pierwszego czytania, nawet jeśli czytający zagląda tylko przez ramię trzymającemu gazetę sąsiadowi w tramwaju.
Dlatego po ukazaniu się każdego kolejnego tekstu czekam z niepokojem na opinie, zwłaszcza gdy moi "recenzenci" nie zajmują się profesjonalnie nauką, więc reprezentują typowego czytelnika.
Opinie, jakie zbieram, są czasem lepsze, a czasem gorsze - ale takiej miażdżącej krytyki, jak po ostatnimi artykule (o ograniczeniach komputerów), jeszcze nie dostałem. Przypomnę, że w tym feralnym felietonie przedstawiałem następującą drogę rozumowania: komputery są przydatne, ale nie są w stanie rywalizować z naszym intelektem, ponieważ komputer działa w oparciu o logikę (podstawowy budulec, jakiego używają elektronicy, to bramki logiczne), a tymczasem matematycznie dowiedziono (za pomocą twierdzenia Goedla), że każdy system oparty na logice jest z zasady niezupełny.
Oznacza to, że nie da się w nim udowodnić każdej prawdziwej tezy. Większość nieprawdziwych twierdzeń można matematycznie obalić, większość prawdziwych udowodnić, ale nie wszystkie. A jednak ludzie swoim umysłem także takie tezy są w stanie odkrywać i wykorzystywać, co dowodzi, że istnieje taka sfera naszego intelektu, w której nawet najdoskonalszy komputer (będący niewolnikiem logiki) nie będzie w stanie dotrzymać nam kroku. Gdybym poprzestał na tym wywodzie, który streściłem wyżej, to bym "nie podpadł" mojemu recenzentowi (i być może wielu innym Czytelnikom). Mnie jednak podkusiło, żeby pokazać, skąd się wzięło twierdzenie Goedla. Przypomnę: matematycy na początku XX wieku zaczęli się martwić, czy uprawiana od stuleci matematyka nie jest wewnętrznie sprzeczna. Mieli powody, bo wiedzieli już o dwóch różnych geometriach: Euklidesa i Riemanna, które w różny sposób opisują przestrzeń i obowiązują w różnych skalach opisu świata. Problem niesprzeczności matematyki sformułował Hilbert, próbował go rozwiązać Russell, zaś Goedel dowiódł, że tego się nie da rozstrzygnąć. Dla mnie ten problem i sposób jego rozwiązania jest czymś o fundamentalnym znaczeniu, ale nie potrafiłem tego przekonywająco wyrazić, więc spotkałem się z komentarzem:
"A kogo to obchodzi, czy matematyka jest niesprzeczna? Niech się tym martwią matematycy!".
Drodzy Państwo, takie postawienie sprawy dosłownie zwaliło mnie z nóg. To jest trochę tak, jakby ktoś zadał pytanie, czy Księżyc nie runie nam na głowy niszcząc Ziemię i wszystkie żywe istoty - a w odpowiedzi usłyszałby, że to jest tylko zmartwienie astronomów.
Niesprzeczności matematyki musimy być pewni w takim samym stopniu, jak tego, że skorupa ziemska pod naszymi stopami nie zamieni się w płynną ognistą lawę, bo tak jak nasz byt zależy od twardego gruntu pod nogami, tak cała nasza cywilizacja zależy od tego, czy naprawdę nie da się w żaden sposób udowodnić, że 2+2 = 5. W przypadku wewnętrznie sprzecznej matematyki możliwe byłoby obalenie wszystkich twierdzeń, na których zbudowaliśmy naszą wiedzę o przyrodzie (fizyka, chemia), o gospodarce (ekonomia, socjologia), o wszechświecie (astronomia, astrofizyka) i o nas samych (genetyka, kognitywistyka). Na matematyce oparta jest cała współczesna technika. Jeśli budujemy most, to pewność jego bezpiecznego użytkowania opieramy na matematycznym wyliczeniu wytrzymałości. Ufnie wsiadamy do samolotu, bo obliczenia zapewniły, że on bezpiecznie poleci i wyląduje. Nie tworzymy wszak współczesnych urządzeń technicznych metodą prób i błędów (jeden samolot wystartuje, a dziesięć innych spłonie w dziewiczym locie) - tylko posługujemy się precyzyjnym rachunkiem i wierzymy w uzyskane wyniki. Wyobraźmy sobie jednak, że inżynierowie korzystają z matematyki, która jest wewnętrznie sprzeczna. To powoduje, że możliwe jest udowodnienie określonego twierdzenia - oraz jego zaprzeczenia. Wtedy twory techniki mogłyby działać (lub ulegać katastrofie) w zależności od tego, która z tych ewentualności w danym momencie znajdowałaby potwierdzenie w rzeczywistym świecie. Tak jak geometrie Euklidesa albo Riemanna. Odmienne, a obie matematycznie poprawne!
Zachęcam do przemyślenia konsekwencji - najlepiej na balkonie wysokiego budynku.